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Fatorar significa escrever um número como uma multiplicação de dois ou mais termos, ou seja, transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.
Exemplo: ax + ay = a.(x+y)
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Existem vários tipos de fatoração que são aplicados de acordo com o polinômio apresentado:
Fator Comum em evidência
- Quando os termos possuem fatores comuns.
Veja o polinômio abaixo. Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
ax + ay
Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada
Exemplos:
a) bx + by – bz = b.(x+y-z)
d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)
Fatoração por agrupamento
- Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.
Como por exemplo:
ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:
(x+y).(a+b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)
Exemplos:
a) x²- 3x+ax-3a = x.(x – 3) + a (x – 3) = (x – 3).(x + a)
b) 2b² + ab² + 2c³ + ac³ = b²(2 + a) + c³ (2 + a ) = (2 + a) (b² + c³)
Fatoração por diferença de quadrados
- Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado.
Assim: x² – 9 = (x + 3).(x – 3)
Fatoração do trinômio quadrado perfeito
- O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios ( ) e ( ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
(a + b)2 = a² + 2ab + b²
(a – b)2 = a² – 2ab + b²
Assim:
4x² – 12xy + 9y²
| |
√4x² √9y²
| |
2x 3y
2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de 4x² – 12xy + 9y²
Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
4x² – 12xy + 9y² = (2x – 3y)² » forma fatorada
Logo: 4x²+12xy + 9y² = (2x + 3y)² » forma fatorada
Veja Também: Produtos Notáveis – O Quadrado da Soma