Produtos Notáveis e Fatoração

Fatorar significa escrever um número como uma multiplicação de dois ou mais termos, ou seja, transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.

Exemplo: ax + ay = a.(x+y)

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Existem vários tipos de fatoração que são aplicados de acordo com o polinômio apresentado:

Fator Comum em evidência

• Quando os termos possuem fatores comuns.

Veja o polinômio abaixo.  Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.

ax + ay

Assim: ax + ay = a.(x+y)

Forma fatorada

Exemplos:

a) bx + by – bz = b.(x+y-z)

d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)

Fatoração por agrupamento

• Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.

Como por exemplo:

ax + ay + bx + by

Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:

a.(x+y) + b.(x+y)

Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:

(x+y).(a+b)

Ou seja:  ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)

Exemplos:

a) x²- 3x+ax-3a = x.(x – 3) + a (x – 3) = (x – 3).(x + a)

b) 2b² + ab² + 2c³ + ac³ = b²(2 + a) + c³ (2 + a ) = (2 + a) (b² + c³)

Fatoração por diferença de quadrados

• Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado.

Assim: x² – 9 = (x + 3).(x – 3)

Fatoração do trinômio quadrado perfeito

• O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.

Por exemplo, os trinômios ( ) e (  ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.

(a + b)2 = a² + 2ab + b²

(a – b)2 = a² – 2ab + b²

Assim:

4x² – 12xy + 9y²

|                |

√4x²      √9y²

|                |

2x               3y

2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de 4x² – 12xy + 9y²

Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.

4x² – 12xy + 9y²   = (2x – 3y)² » forma fatorada

Logo:     4x²+12xy + 9y²   = (2x + 3y)²   » forma fatorada

Veja Também: Produtos Notáveis – O Quadrado da Soma